3.4广义线性回归

一般形式：$y = g^{-1} \left( w^T x + b \right)$

单调可微的联系函数 (link function)

令 $g(\cdot) = \ln (\cdot)$ 则得到对数线性回归

实际上是在用$e^{w^T x + b}$逼近$y$

3.5对率回归

线性回归模型产生的实值输出 $z = w^T x + b$

期望输出 $y \in {0, 1}$

理想的"单位阶跃函数" (unit-step function)

性质不好，需找"替代函数" (surrogate function)

常用单调可微、任意阶可导

找 $z$和 $y$的联系函数

对数几率函数 (logistic function) 简称"对率函数"

以对率函数为联系函数：$y = \frac{1}{1 + e^{-z}}$

变为$y = \frac{1}{1 + e^{-(w^T x + b)}}$

即：$\ln \left( \frac{y}{1 - y} \right) = w^T x + b$

$\ln \left( \frac{y}{1 - y} \right)$称为几率 (odds)，反映了 $x$ 作为正例的相对可能性（log odds，亦称 logit）。

“对数几率回归”（logistic regression）简称“对率回归”

• 无需事先假设数据分布
• 可得到“类别”的近似概率预测
• 可直接应用现有数值优化算法求取最优解

注意：它是分类学习算法！

3.6多分类任务

一对多（One-vs-Rest, OvR）

原理 为每个类别训练一个独立的二分类器，将该类别作为正类，其他所有类别合并作为负类

实现步骤

1. 假设共有K个类别
2. 训练K个二分类器（如逻辑回归、SVM等）
3. 第i个分类器的训练数据：
   • 正样本：原始数据中标签为类别i的样本
   • 负样本：原始数据中标签不为类别i的所有样本
4. 预测时：
   • 用所有K个分类器分别预测
   • 选择输出概率/分数最高的类别作为最终预测结果

特点

• 优点：只需训练K个分类器，计算效率较高
• 缺点：当类别数很多时，每个分类器的负样本会远多于正样本，导致类别不平衡问题

一对一（One-vs-One, OvO）

原理 为每两个类别组合训练一个独立的二分类器，专门区分这两个类别

实现步骤

1. 假设共有K个类别
2. 训练K×(K-1)/2个二分类器（如逻辑回归、SVM等）
3. 每个分类器(i,j)的训练数据：
   • 只使用原始数据中标签为i或j的样本
   • 类别i作为正类，类别j作为负类（或反之）
4. 预测时：
   • 让所有分类器进行预测并记录"投票"
   • 统计每个类别获得的票数
   • 选择得票数最多的类别作为最终预测结果

特点

• 优点：每个分类器只关注两个类别，训练数据更均衡
• 缺点：需要训练O(K²)量级的分类器，当K很大时计算开销显著增加